Podstawy antyaliasingowych filtrów dolnoprzepustowych (i dlaczego należy je dopasować do przetwornika analogowo-cyfrowego)

Podstawowe systemy akwizycji danych próbkowanych - czy to dla IoT, inteligentnych domów, czy sterowania przemysłowego - jeśli nie zostaną zabezpieczone, narażone będą na niedokładności spowodowane aliasingiem, co skutkuje generowaniem fałszywych sygnałów z powodu niedostatecznego próbkowania wejścia analogowego. Aliasing kompresuje składowe sygnału o częstotliwości powyżej częstotliwości Nyquista (połowa częstotliwości próbkowania) z powrotem do widma pasma podstawowego, gdzie nie można ich oddzielić od pożądanych sygnałów, co prowadzi do błędów. Dodatkowo do pasma podstawowego jest również wprowadzany szum powyżej częstotliwości Nyquista, co obniża stosunek sygnału do szumu (SNR) pożądanych sygnałów pasma podstawowego.

Rozwiązaniem zapobiegającym aliasingowi jest ograniczenie pasma sygnałów wejściowych - ograniczenie wszystkich składowych sygnału wejściowego poniżej połowy częstotliwości próbkowania przetwornika analogowo-cyfrowego (ADC). Ograniczenie pasma osiąga się za pomocą analogowych filtrów dolnoprzepustowych zwanych filtrami antyaliasingowymi. Filtry te muszą ograniczać pasmo bez wprowadzania dodatkowych zniekształceń sygnału, szumu lub zmian amplitudy wraz z częstotliwością. Antyaliasingowe filtry dolnoprzepustowe muszą zapewniać szybki spadek wzmocnienia z wystarczającym tłumieniem pasma zatrzymania, aby znacznie obniżyć amplitudy sygnału powyżej częstotliwości Nyquista.

W tym artykule omówiono kryteria projektowania antyaliasingowych filtrów dolnoprzepustowych oraz powody i sposób ich dokładnego dopasowania do specyfikacji przetworników analogowo-cyfrowych (ADC). Następnie pokazano, w jaki sposób można je zrealizować za pomocą aktywnych lub przełączanych filtrów kondensatorowych przy użyciu przykładowych urządzeń firmy Analog Devices.

Czym jest aliasing?

Aliasing występuje, gdy system pobiera dane z niewystarczającą częstotliwością próbkowania. Jeśli sygnał zawiera częstotliwości wyższe niż częstotliwość Nyquista, są one mieszane z częstotliwością próbkowania w samplerze przetwornika i odwzorowywane na częstotliwości mniejszej niż częstotliwość Nyquista, powodując zmieszanie różnych sygnałów i ich nierozróżnialność podczas próbkowania (ilustracja 1).

Ilustracja 1: przykład aliasingu. Fala sinusoidalna o częstotliwości 80 kiloherców (kHz) próbkowana z prędkością 2 milionów próbek na sekundę (u góry po lewej) nie wykazuje aliasingu. Zmniejszenie częstotliwości próbkowania do 100 tysięcy próbek na sekundę (na dole po lewej) powoduje, że sygnał jest interpretowany jako mający częstotliwość 20kHz. Zarówno prawidłowo próbkowane, jak i aliasowane sygnały nakładają się na siebie w widoku powiększenia (po prawej). Kropki pokazują lokalizacje próbek. Należy zauważyć, że aliasowany sygnał wykorzystuje podzbiór poprawnie próbkowanych danych. (Źródło ilustracji: DigiKey)

Sygnał pokazany na lewym górnym wykresie to sinusoida 80kHz próbkowana z szybkością 2 milionów próbek na sekundę (MS/s). Przy 2MS/s częstotliwość Nyquista wynosi 1 megaherc (MHz), tymczasem sygnał znajduje się znacznie poniżej tej wartości. Wykres na dole po lewej pokazuje, co się dzieje, gdy częstotliwość próbkowania zostanie zmniejszona do 100 tysięcy próbek na sekundę (kS/s). Częstotliwość Nyquista wynosi teraz 50kHz, a częstotliwość sinusoidy 80kHz jest wyższa od częstotliwości Nyquista i jest aliasowana.

Po prawej stronie ilustracji odpowiednio próbkowane i aliasowane sygnały są rozciągane w poziomie i nałożone na siebie, a rzeczywiste próbki są oznaczone kropką. Należy zauważyć, że aliasowany sygnał zawiera podzbiór próbek sygnału próbkowanego przy 2MS/s. Próbkowanie jest operacją mieszania, a wynik operacji składa się z sumy i różnicy sygnałów wejściowych i częstotliwości próbkowania.

Przy częstotliwości próbkowania 100kS/s i częstotliwości sygnału 80kHz częstotliwość różnicowa wynosi 20kHz. Pomiary częstotliwości obu przypadków podano pod wykresami. Odczyt parametru P1 wskazuje odpowiednio próbkowaną częstotliwość sygnału 80kHz, podczas gdy częstotliwość aliasowanego sygnału wynosi 20kHz.

Projektowanie antyaliasingowego filtra dolnoprzepustowego

Pierwszym krokiem przy projektowaniu filtra antyaliasingowego jest określenie przepustowości wymaganej w systemie akwizycji. Ustawia to częstotliwość graniczną filtra dolnoprzepustowego. Częstotliwości graniczne filtra są zwykle ustawione na -3 decybele (dB) lub punkt połowy mocy. Jest to częstotliwość, na której amplituda filtrowanego sygnału spada do 0,707 amplitudy przy prądzie stałym. Jeżeli konstrukcja systemu akwizycji wymaga bardziej płaskiej odpowiedzi częstotliwościowej, wartość graniczną można zdefiniować z niższą wartością tłumienia, na przykład -1dB. Wyższa amplituda częstotliwości granicznej bardziej wpływa na odchylenie odpowiedzi częstotliwościowej filtra antyaliasingowego.

Po określeniu szerokości pasma systemu akwizycji można ustawić częstotliwość próbkowania. Teoretyczna minimalna częstotliwość próbkowania to dwukrotność przepustowości systemu akwizycji. Ta teoretyczna granica nie jest jednak dobrą częstotliwością próbkowania w praktyce, ponieważ możliwy do zrealizowania filtr antyaliasingowy nie może tłumić sygnałów powyżej częstotliwości granicznej tak gwałtownie jak idealny filtr teoretyczny. Oznacza to, że częstotliwość próbkowania powinna być wyższa. Kompromis polega na tym, że wymagania pamięci rosną wraz z częstotliwością próbkowania. W czasach drogiej pamięci utrzymywało się częstotliwość próbkowania możliwie blisko częstotliwości Nyquista - zwykle między 2,5 a czterokrotnością przepustowości wejściowej. Niższe koszty pamięci powodują, że łatwiej sprostać temu wymaganiu, więc częstotliwość próbkowania może być wyższa. Nierzadko spotyka się częstotliwość próbkowania pięć lub dziesięć razy większą od przepustowości.

Rozważmy konstrukcję czujnika ultradźwiękowego wymagającego przepustowości akwizycji 100kHz. Częstotliwość próbkowania może wynosić od 500kHz do 1MHz.

Teraz można wybrać przetwornik analogowo-cyfrowy. W naszym przykładzie wykorzystaliśmy 12-bitowy przetwornik z sukcesywną aproksymacją o częstotliwości próbkowania 1MS/s, jak np. układ LTC2365ITS8#TRMPB firmy Analog Devices. Jego 12-bitowa rozdzielczość zapewnia teoretyczny zakres dynamiki 72dB. Ten przetwornik analogowo-cyfrowy ma wyjątkowe parametry dynamiki, która cechuje się stosunkiem sygnału do szumu i zniekształceń (SINAD) na poziomie -72dB i SNR na poziomie -73dB, przy częstotliwości próbkowania 1MS/s (ilustracja 2).

Ilustracja 2: schemat blokowy i parametry SINAD w 12-bitowym przetworniku analogowo-cyfrowym z sukcesywną aproksymacją LTC2365ITS8#TRMPB firmy Analog Devices. (Źródło ilustracji: Analog Devices)

W przypadku działania z częstotliwością próbkowania 1MS/s, częstotliwość Nyquista wynosi 500kHz. Wyjście filtra dolnoprzepustowego 100kHz musi mieć tłumienie pasma zatrzymania, aby składowe sygnału powyżej częstotliwości Nyquista spadły do poziomu szumów przetwornika analogowo-cyfrowego - w tym przypadku powyżej -73dB dla częstotliwości większych niż 500kHz.

Wybór typu filtra

Istnieje wiele możliwych typów i konfiguracji filtrów dolnoprzepustowych. Najczęściej stosowane są filtry Butterwortha, Czebyszewa i Bessela. Odpowiedzi częstotliwościowe tych filtrów są różne i oferują różne kluczowe czynniki w zależności od zastosowania (ilustracja 3).

Ilustracja 3: porównanie odpowiedzi częstotliwościowych filtrów Butterwortha (szary), Czebyszewa (niebieski) i Bessela (pomarańczowy). Typy filtrów różnią się płaskością charakterystyki pasma przepustowego, opóźnieniem fazowym i nachyleniem odcinka przejściowego. (Źródło ilustracji: DigiKey)

Trzy ukazane odpowiedzi filtrów mają specyficzne cechy. Na przykład filtr Butterwortha ma maksymalnie płaską odpowiedź amplitudową. Oznacza to, że zapewnia najbardziej płaską odpowiedź wzmocnienia z częstotliwością w paśmie przepustowym z umiarkowanym spadkiem wzmocnienia (roll-off) w odcinku przejściowym.

Filtry Bessela cechują się jednolitym opóźnieniem czasowym dla stałego opóźnienia grupowego. Oznacza to, że mają liniową odpowiedź fazową z częstotliwością i doskonałą odpowiedź impulsową dla impulsu wejściowego. Ta doskonała odpowiedź fazowa zachodzi kosztem płaskości pasma przepustowego i wolniejszego początkowego tłumienia poza pasmem przepustowym.

Filtry Czebyszewa są zaprojektowane tak, aby zapewniały bardziej stromy spadek wzmocnienia w obszarze przejściowym, ale mają większe zafalowanie w paśmie przepustowym. Projekty wykorzystujące ten typ filtra są na ogół oparte na określonym maksymalnym tętnieniu. Na przykład jeśli częstotliwość graniczna amplitudy wynosi -1dB, wówczas charakterystyka tętnień zwykle byłaby ustawiona na maksymalnie 1dB.

Odpowiedź tych filtrów na impuls w dziedzinie czasu jest przydatna w wyborze odpowiedniego typu filtra (ilustracja 4).

Ilustracja 4: odpowiedź filtra na impuls wejściowy (u góry po lewej) pokazuje różnice w odpowiedzi na impulsy w dziedzinie czasu dla filtrów Czebyszewa (u góry po prawej), Butterwortha (u dołu po lewej) i Bessela (u dołu po prawej). (Źródło ilustracji: DigiKey)

Liniowa odpowiedź fazowa filtra Bessela przenosi impuls z minimalnymi zniekształceniami, ale nie posiada płaskości amplitudy filtra Butterwortha ani ostrego odcięcia filtrów Czebyszewa. Wybór filtra zależy od potrzeb danego zastosowania:

• Filtr Butterwortha należy wybrać, jeśli sprawą najwyższej wagi jest dokładność amplitudy
• Filtr Czebyszewa byłby dobrym wyborem, jeśli pożądana częstotliwość próbkowania jest zbliżona do szerokości pasma sygnału
• Filtr Bessela jest najlepszym wyborem, jeśli priorytetem jest wierność impulsów

Rząd filtra

Rząd filtra odnosi się do złożoności konstrukcji filtra. Termin ten odnosi się do liczby elementów reaktywnych w projekcie, takich jak kondensatory. Oznacza również liczbę biegunów w funkcji transmitancji filtra.

Rząd filtra wpływa na stromość spadku wzmocnienia obszaru przejściowego, a zatem na jego szerokość. Filtr pierwszego rzędu ma spadek wzmocnienia wynoszący 6dB na oktawę lub 20dB na dekadę. Filtr rzędu n będzie miał współczynnik spadku wzmocnienia 6×n dB/oktawę lub 20×n dB/dekadę. Tak więc filtr ósmego rzędu ma współczynnik spadku wzmocnienia 48dB na oktawę lub 160dB na dekadę.

Korzystając z opisanego wcześniej przykładu czujnika ultradźwiękowego, wszystkie sygnały powyżej 100kHz muszą być tłumione o co najmniej -73dB dla częstotliwości Nyquista wynoszącej 500kHz. Filtr ósmego rzędu tłumi sygnały o około -98dB przy 500kHz (ilustracja 5). Filtr szóstego rzędu tłumi sygnał pozapasmowy przy 500kHz o około -83dB. Zatem w naszym przykładzie odpowiedni byłby filtr szóstego rzędu, ale filtr ósmego rzędu zapewniłby jeszcze niższą amplitudę dla sygnałów poza pasmem. Jeśli koszty są takie same, należy wybrać filtr ósmego rzędu. Więcej na temat takich kompromisów powiemy później, podczas omawiania poszczególnych komponentów.

Ilustracja 5: porównanie spadku wzmocnienia filtrów czwartego (niebieski), szóstego (pomarańczowy) i ósmego rzędu (szary). (Źródło ilustracji: DigiKey)

Rząd filtru można zwiększyć, łącząc kaskadowo kilka sekcji filtrów. Na przykład dwa filtry dolnoprzepustowe drugiego rzędu można połączyć kaskadowo, aby uzyskać filtr dolnoprzepustowy czwartego rzędu i tak dalej. Wadą układu kaskadowego wielu aktywnych filtrów jest wzrost zużycia energii, kosztów i rozmiarów.

Wybór filtra szóstego lub ósmego rzędu będzie również zależeć od konfigurowalności wybranego komponentu filtra. Układy scalone filtrów skonfigurowane jako cztery filtry drugiego rzędu pozwalają zaimplementować filtr szóstego rzędu, ale układy skonfigurowane jako podwójne filtry czwartego rzędu musiałyby implementować filtr ósmego rzędu.

Komponenty filtra

Filtry antyaliasingowe dla częstotliwości akustycznych i ultradźwiękowych mogą być realizowane za pomocą aktywnych lub przełączanych filtrów kondensatorowych. Zasadniczo wyniki stosowania obu typów filtrów są bardzo podobne. Filtry aktywne mogą być preferowane w aplikacjach wykorzystujących przetworniki analogowo-cyfrowe o bardzo wysokiej rozdzielczości 16 lub więcej bitów ze względu na niższy potencjał wystąpienia szumów. Przełączane filtry kondensatorowe, które wymagają sygnału zegarowego, mają wyższy potencjał wystąpienia szumów z powodu przesłuchu z sygnału zegarowego.

Grupa urządzeń LTC1563 firmy Analog Devices oferuje filtry aktywne 4-biegunowe lub czwartego rzędu, które wykorzystują pojedynczy rezystor do kontroli częstotliwości granicznej. Grupa ta oferuje konfiguracje filtrów typu Butterwortha i Bessela. Układ LTC1563-2 jest 4-biegunowym elementem filtrującym Butterwortha o maksymalnej częstotliwości granicznej 256kHz. Układy tego filtra można skonfigurować kaskadowo w celu uzyskania odpowiedzi dolnoprzepustowej ósmego rzędu (ilustracja 6).

Ilustracja 6: filtr Butterwortha ósmego rzędu, 20kHz, zaimplementowany przy użyciu dwóch układów LTC1563-2 firmy Analog Devices. (Źródło ilustracji: Analog Devices)

Jeśli zastosowanie wymaga zmiennej częstotliwości granicznej, dobrym wyborem byłby układ LTC1564IG#TRPBF firmy Analog Devices. Ten dolnoprzepustowy filtr ósmego rzędu ma szerokość pasma, która jest cyfrowo kontrolowana za pomocą 4-bitowej magistrali sterującej, umożliwiającej zmianę częstotliwości granicznej w zakresie od 10kHz do 150kHz co 10kHz. Wzmocnienie jest również programowane cyfrowo. Filtr ma zakres dynamiki 122dB i jest przeznaczony do systemów akwizycji o rozdzielczości od 16 do 20 bitów (ilustracja 7).

Ilustracja 7: 16-bitowy system akwizycji 500kS/s wykorzystujący tylko dwa układy scalone. Układ LTC1564IG#TRPBF zapewnia zmienną szerokość pasma do 150kHz i wzmocnienie do 24dB. (Źródło ilustracji: Analog Devices)

Zmienne częstotliwości graniczne mogą być również realizowane za pomocą przełączanych filtrów kondensatorowych. Układ LTC1068-25IG#PBF firmy Analog Devices jest uniwersalnym przełączanym kondensatorowym filtrem dolnoprzepustowym ósmego rzędu o maksymalnej częstotliwości granicznej wynoszącej 200kHz. Ten układ scalony składa się z 4 bloków filtrów drugiego rzędu, które można łączyć kaskadowo, aby utworzyć filtr dolnoprzepustowy rzędu 8 (ilustracja 8).

Ilustracja 8: filtr dolnoprzepustowy ósmego rzędu z wykorzystaniem przełączanego filtra kondensatorowego LTC1068-25IG#PBF. Częstotliwość graniczną ustawia się za pomocą zegara przełączającego i jest ona równa częstotliwości zegara przełączającego podzielonej przez 32. (Źródło ilustracji: Analog Devices)

Uniwersalne układy scalone z aktywnymi filtrami mogą być również stosowane do antyaliasingu. Wymagają one większej liczby elementów do ustawienia charakterystyki filtra. Układ LTC1562-2 firmy Analog Devices to filtr poczwórny drugiego rzędu o niskim poziomie szumów/zniekształceń, który można skonfigurować jako filtr Butterwortha, Czebyszewa, eliptyczny lub filtr o równomiernych zafalowaniach z odpowiedzią dolnoprzepustową, górnoprzepustową lub pasmowoprzepustową. Częstotliwości graniczne wynoszą od 20 do 300kHz i programowane są przy użyciu wartości rezystora. Trzy rezystory programują częstotliwość środkową, wzmocnienie i ładunek Q. Ten projekt filtrów o układzie czterech filtrów drugiego rzędu może być skonfigurowany do uzyskania filtrów 2, 4, 6 lub 8 rzędu.

Podsumowanie

Antyaliasingowe filtry dolnoprzepustowe są wymagane w systemach akwizycji danych w celu zapewnienia, że wszystkie próbkowane sygnały będące przedmiotem zainteresowania można dokładnie odtworzyć. Wymagana charakterystyka filtra zależy od szerokości pasma, rozdzielczości amplitudy i częstotliwości próbkowania przetwornika analogowo-cyfrowego z którym on współpracuje. Jak pokazano, istnieje wiele opcji projektowych implementacji filtrów dolnoprzepustowych, w tym aktywnych, sterowanych cyfrowo i przełączanych urządzeń kondensatorowych.